线性规划论文思路（可快速求解线性规划最值问题的研究）

在线性规划题目中，经常会遇到这样一类问题，即关于x，y的三个不等式组，求z=ax+by的最值问题，这类问题主要有两大解法：

一常规解法，利用图像，画出不等式组构成的封闭区域，然后观察在此区域内，z=ax+by的值域走向，判定结果；

二取巧解法，也即从封闭区域的特点出发，可以看出，z最值是在这个封闭区域的各个交点聚集处，因此通过解3个方程组，分别求出交点，然后分别带入z=ax+by，即可求出最值。

可以看出，即使第二种方法（包含三个方程组）也是需要大量计算的，然而却有两个方程组的解是无用的，等效的结果是在做无用功，那么有没有可以更快捷的方法或是减少解方程组个数的方法呢？

笔者经过研究发现，通过不等式组的特点以及z=ax+by最值的要求，完全可以通过这样一种方法快速的减少解方程组个数（1或2个），大大减少计算量，节省时间，提高效率与准确率。下面我就把这种方法介绍给大家：

本方法考虑了此类型所有题型的特点，做出了几点方法规范与使用要求：

优先使不等式组中x系数为正，x系数为0时，优先保证y系数为正；

我们规定z=ax+by，中x，y的系数与不等式组中x，y系数都同号时，称为符号相同；反之，符号相反；其中若x，y系数为0，则默认也是同号的，比如3x-4y≤5与x≤6这两个不等式是同号的；

当目标函数z=ax+by所求最大值时，我们需要寻找符号为“≤”的不等式，所求最小值时，我们需要寻找符号为“≥”的不等式；

当寻找到符号“？”后，若只有一个不等式，即是确定的第一个式子，若存在两个不等式，那么选择与目标函数符号相同的不等式，然后在剩余两个不等式中寻找与目标函数符号相反的第二个不等式即可，若剩余的两个不等式都与目标函数的符号相反，只能解次两组不等式；下面我们以几道高考试题为例进行讲解分析

例1（2017高考）

设x，y满足约束条件 x+2y≤1①；2x+y≥-1②；x-y≤0③；则z=3x-2y的最小值为（）

解：因为求最小值，即找符号“≥”，锁定不等式②，然后与目标函数符号相反的是不等式①，即找到，解①②，可得x=-1，y=1，所以z=3x-2y的最小值为-5.

例2（2018高考）

设x，y满足约束条件 x-2y-2≤0①；x-y+1≥0②；y≤0③；则z=3x+2y的最大值为（）

解：因为求最大值，即找符号“≤”，式①③满足；然后在①③寻找与目标函数符号相同的函数，锁定式③，然后在寻找与目标函数符号相反的不等式，发现①②都满足，本题只能减少一组方程组，但是通过简单的计算，可知①③的结果满足，即x=2，y=0，目标函数z=3x+2y的最大值为6.

例3（2013高考）

已知a>0，x，y满足约束条件 x≥1①；x+y≤3②；y≥a（x-3）③；若z=2x+y的最小值为1，则a为（）。

解: 第一步 按我们要求，将③变为a（x-3）-y≤0；

第二步 因为目标函数为最小值，即找符号“≥”，锁定①；

第三步 在②③中寻找与目标函数符号相反的函数，锁定③；

第四步 解①③，可得x=1，y=-2a，带入目标函数

2-2a=1，可得a=1/2，即为本题答案。

可见本方法在求解类似线性规划最值问题时，能够快捷有效的降低不等式组个数，简单明了锁定所解的两个方程，大大降低的运算量；同时在此说明，本方法只对3个不等式构成的问题有效，不涉及更多个数的不等式问题，并且只对目标函数为z=ax+by的线性运算有效，不涉及比例以及指数方程问题。感兴趣的大家可以试一试。